Juraj Kukura sa narodil 15. marca 1947 v Prešove. Základnú a strednú školu ukončil v Bratislave. K divadelnému umeniu prenikol ako elév časopisu Film a divadlo. Štúdium herectva absolvoval na Vysokej škole múzických umení v Bratislave pod vedením Jozefa Budského. Mal devätnásť rokov, keď ho režisér Ivan Balaďa obsadil do jednej z hlavných úloh vo filmovom spracovaní románu Margity Figuli Tri gaštanové kone (1966).

Od roku 1970, ešte počas štúdií, bol členom súboru legendárneho Divadla na korze. Po jeho zrušení prešiel do súboru Novej scény a neskôr do Slovenského národného divadla. Mimoriadne miesto v tomto období zaujíma jeho spolupráca s režisérom Milošom Pietorom, v ktorého inscenáciách vytváral charakterové úlohy spolupodieľajúce sa na tematickej výpovedi inscenácie a na celkovej podobe Pietorovej poetiky: Ďuro Ľavko v Tajovského Statkoch-zmätkoch, Filint v Molièrovom Mizantropovi, Astrov v Čechovovom Ujovi Váňovi, Pišta Bučák v Tajovského Novom živote, titulná rola v Čechovovom Platonovovi, Chlestakov v Gogoľovom Revízorovi a mnohé ďalšie.

Okrem účinkovania na divadelných doskách sa Juraj Kukura predstavil v mnohých televíznych inscenáciách, kde stvárňoval hlavné postavy v adaptáciách kľúčových diel svetovej i domácej literatúry, za všetky spomeňme Jaga, Oidipa či Eugena Onegina. Televízna inscenácia Mário a kúzelník podľa poviedky T. Manna, v ktorej Juraj Kukura vytvoril titulnú postavu, bola ocenená cenou na Medzinárodnom televíznom festivale v Monte Carle.

Svoje herectvo Juraj Kukura predviedol aj vo filme, kde sa zaskvel ako predstaviteľ mužných rolí v skvostoch česko-slovenskej i zahraničnej kinematografie: Zbehovia a pútnici Juraja Jakubiska, Stíny horkého léta Františka Vláčila, Eden a potom Alaina Robbe-Grilleta, Koncert pre pozostalých Dušana Trančíka, Deviate srdce Juraja Herza, Božská Ema Jiřího Krejčíka a mnohých iných.

V roku 1984, počas nakrúcania filmu Via Mala v zahraničí, bol Juraj Kukura bezdôvodne odsúdený na tri a pol roka väzenia za opustenie republiky a bol mu zabavený majetok. Do vlasti sa nemohol vrátiť a bol angažovaný v nemeckom Münchner Kammerspiele, neskôr v rokoch 1985 – 1989 v Schauspielhaus Hamburg. Hosťoval v mnohých prestížnych zahraničných divadlách ako Stadttheater Basel, Theater Bonn, Residenztheater München, Divadlo Komedie Praha, Činoherní klub Praha. Spolupracoval najmä s významným nemeckým režisérom Petrom Zadekom či uznávaným Jeromom Savarym, pri kreáciách najvýraznejších dramatických charakterov svetovej dramatiky v renomovaných divadelných domoch, spolu so špičkami svetového herectva Evou Mattes, Ilsou Ritter, Mariom Adorfom, Manfredom Krugom, Gerhardom Vossom, Ulrichom Tukurom a ďalšími.

V nemeckom prostredí sa presadil aj vo filme a v televízii: účinkoval v mnohých seriáloch a filmoch, napr. vo filmoch Otto – Der Liebesfilm, Workaholic, Apokalypse 99 – Anatomie eines Amokläufers, Das Sams a v mnohých ďalších, v seriáloch Dedičstvo Guldenburgovcov, Hotel Paradies, Šťastnú cestu, Klinika pod palmami atď. Vytvoril hlavné postavy v dvoch dieloch televíznej kriminálky Tatort (Miesto činu). V roku 1989 nakrútil šesťdielny anglický televízny film Traffik, ktorý dostal štyri ceny britskej akadémie, medzinárodnú cenu Emmy za najlepší dramatický seriál a stal sa predlohou pre slávny film Stevena Soderbergha.

Po roku 1989 sa postupne vracal na domáce filmové plátna a obrazovky. Stvárnil titulnú postavu v Jakubiskovom filme Lepšie byť bohatý a zdravý ako chudobný a chorý, s Jozefom Kronerom si zahral v televíznom filme Cudzinci, hlavnú rolu vytvoril v slovenskej dráme Tábor padlých žien, účinkoval vo Fragmentoch z malomesta, či v pôvodnom rozprávkovom filme Sokoliar Tomáš. Za televízny film Voľnomyšlienkár o osvietenskom vzdelancovi Denisovi Diderotovi mu bola na festivale Art film v Trenčianskych Tepliciach udelená cena Igric.

V rokoch 1966–2008 Juraj Kukura ÚČINKOVAL V TRIDSIATICH CELOVEČERNÝCH FILMOCH, V 130 TELEVÍZNYCH FILMOCH A INSCENÁCIÁCH A V 37 TELEVÍZNYCH SERIÁLOCH domácej aj zahraničnej produkcie.

Od roku 2002 vedie Juraj Kukura ako riaditeľ bratislavské Divadlo Aréna. Na jeho doskách sa predstavil v inscenáciách Koza alebo Kto je Sylvia?, Rodinná slávnosť a Komunizmus, všetky tri v réžii Martina Čičváka. Za postavu Martina v prvej menovanej inscenácii Juraj Kukura získal cenu Dosky 2004 za najlepší mužský herecký výkon. Divadlo Aréna, postavené v r. 1828, je dnes je kultúrnou historickou pamiatkou prvej triedy. V súčasnosti sa v tomto divadle hrá súčasná i klasická činohra, muzikál, tanečné predstavenia, popové, rockové a džezové koncerty, a realizujú sa aj priame prenosy z Metropolitnej opery v New Yorku. Juraj Kukura vytvoril ojedinelý dramaturgický projekt tzv. Občiansky cyklus Divadla Aréna, s výnimočným, stále aktuálnym obrazom našich dejín a vyprofiloval divadlo súčasných tém, kritického pohľadu, modernej formy a historicko-politického kontextu.

Taktiež založil Detskú Univerzitu Komenského, ktorú za 22 rokov pôsobenia úspešne absolvovalo približne 5500 denných študentov a viac ako 3000 online študentov. Za myšlienku a realizáciu vzniku DUK sa stal laureátom Ceny humanitnej rady (2005), Ceny Nadácie Orange v kategórii dlhodobý prínos v oblasti vzdelávania (2011), Zlatej medaile Univerzity Komenského za dlhodobú spoluprácu prospievajúcu k rozvoju a dobrému menu univerzity (2017).

Juraj Kukura za svoj herecký výkon v inscenácii pražského Činoherného klubu Bratři Karamazovi, v réžii Martina Čičváka, získal prestížnu cenu Divadelních novin za najlepší herecký výkon sezóny 2014/2015, ktorá sa udeľuje v rámci všetkých divadelných žánrov. Okrem toho bol za postavu Fjodora Karamazova nominovaný na výročnú Cenu Thálie českej Hereckej asociácie a na Cenu divadelnej kritiky 2015, udeľovanej renomovaným českým časopisom Svět a divadlo.

Za všetky celovečerné filmy spomíname film Zrozen bez porodu, za ktorý bol Juraj Kukura nominovaný na cenu za najlepší mužský herecký výkon na MTF Monte Carlo 2011.

V roku 2018 sa stal titulným predstaviteľom koprodukčného seriálu RTVS a ČT Inšpektor Max, historicky prvej hranej série predanej pre teritórium USA a Kanady.

V októbri 2017 si Juraj Kukura prevzal z rúk prezidenta ČR Miloša Zemana štátne vyznamenanie – Medailu za zásluhy v oblasti umenia; je držiteľom Ceny primátora Bratislavy (2018), ocenenia Brusnianska brusnica za mimoriadny herecký prínos pre slovenskú kultúru (2017), ceny Beckovské Slnko (2017), ceny Literárneho fondu za celoživotné dielo v oblasti divadelnej tvorby.

Juraj Kukura je držiteľom aj mnohých ďalších ocenení - Medzinárodného ocenenia Trebbia 2017, Ceny ministra školstva, vedy, výskumu a športu SR; ocenenia Osobnosť Petržalky; Ceny Samuela Zocha za osobné zásluhy pri rozvoji kultúrnych a umeleckých hodnôt (2013).

V marci 2019 premiéroval v spolupráci so Slovenskou filharmóniou inscenáciu Biblia – číta Juraj Kukura, ktorá bola prijatá s veľkým úspechom na festivaloch Dotyky a spojenia a Divadelná Nitra. Vďaka výnimočnému výkonu v tejto inscenácii sa stal laureátom ocenenia Krištáľové krídlo v kategórii Audiovizuálne umenie a Výročnej ceny Literárneho fondu. V roku 2023 si prevzal Štátnu cenu Jozefa Miloslava Hurbana a o rok neskôr získal ocenenie za celoživotný prínos, riadenie Divadla Aréna a založenie Detskej Univerzity Komenského Združenia samosprávnych krajov Slovenska (SK8).

Po účinkovaní v pražských divadlách Činoherní klub a Divadlo Komedie premiéroval v Divadle Rokoko inscenáciu Vojde kôň do baru, v réžii Martina Čičváka (premiéra: marec 2020).

Juraj Kukura žije striedavo v Bratislave a v Hamburgu. Je ženatý, má syna Filipa a vnučku Ellu.